$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$

y vamos a tratar de reescribirla para que nos aparezca una integral que sepamos resolver, por ejemplo esta que tiene una pinta similar:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx=\operatorname{arcsen}(x)+C$

Ahora, cómo vamos a reescribir la expresión no va a ser tan obvio como en las anteriores. Probablemente después que lo veas te vas a quedar con la idea de "a mi esto nunca se me hubiera ocurrido"... y te voy a responder como siempre, y no, a mi tampoco! jajaja pero justamente estamos para eso, para que vayas viendo muchos ejemplos, vayas encontrando nuevas maneras de pensar, y, en algún momento, cuando veas integrales parecidas a estas, te vas a acordar de estos ejercicios ;)

Fijate que adentro de la raiz tenemos esta expresión: $4 x-x^{2}$. Lo primero que vamos a hacer es reescribir esta cuadrática así: $4 - (x-2)^2$ (esta manera de escribir una cuadrática lo vimos en la Práctica 1, es la forma canónica, también se puede llegar a esta expresión "completando cuadrados", que acá en Análisis no lo vimos, pero quizas te suene de algún lugar) -> Para mi este paso es lo que les puede resultar más difícil en este ejercicio. 

Entonces, reescribiendo así el denominador nos queda:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} = \int \frac{d x}{\sqrt{4 - (x-2)^2}}$

Ahora sacamos factor común el $4$:

$ \int \frac{d x}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} =  \int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - \frac{(x-2)^2}{4}})} = \int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - (\frac{x-2}{2})^2})}$

Distribuimos la raíz y nos queda:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - (\frac{x-2}{2})^2})} = \int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}}$

Uffff, al fin! Ahí se ve claro que si tomamos la sustitución $u = \frac{x-2}{2}$ nos va a aparecer una integral que sabemos resolver. Hacemos la sustitución:

$u = \frac{x-2}{2}$

$du = \frac{1}{2} dx$

La integral en términos de $u$ nos queda:

$\int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin(u) + C$

Volvemos a la variable $x$ y obtenemos el resultado de la integral:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} = \arcsin(\frac{x-2}{2}) + C $